Question

已知函数f（x）=（m+1）x²-（m-1）x+m-1
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0对一切x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对二次项系数m+1的情况分类讨论，由不等式f（x）＜1的解集为R，可得

m+1＜0 △=(m-1)2-4(m+1)(m-2)＜0

，解之即可求得m的取值范围；
（2）f（x）≥（m+1）x?[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0，对m+1=0，m+1＞0与m+1＜0分类讨论，可分别求得其解集；
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0?m（x²-x+1）≥-x²-x+1?m≥

-x2-x+1

x2-x+1

，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）①当m+1=0即m=-1时，f（x）=2x-3，不合题意；  …（1分）
②当m+1≠0即m≠-1时，

m+1＜0 △=(m-1)2-4(m+1)(m-2)＜0

，即

m＜-1 3m2-2m-9＞0

，…（3分）
∴

m＜-1 m＜ 1-2 7 3 或m＞ 1+2 7 3

，
∴m＜

1-2 7

3

…（5分）
（2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x²-2mx+m-1≥0
即[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0
①当m+1=0即m=-1时，解集为{x|x≥1}…（7分）
②当m+1＞0即m＞-1时，（x-

m-1

m+1

）（x-1）≥0，
∵

m-1

m+1

=1-

2

m+1

＜1，
∴解集为{x|x≤

m-1

m+1

或x≥1}…（9分）
③当m+1＜0即m＜-1时，（x-

m-1

m+1

）（x-1）≥0，
∵

m-1

m+1

=1-

2

m+1

＞1，
∴解集为{x|x≥

m-1

m+1

或x≤1}…（…（11分）
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0，即m（x²-x+1）≥-x²-x+1，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴m≥

-x2-x+1

x2-x+1

=-1+

2(1-x)

x2-x+1

…（13分）
设1-x=t，则t∈[

1

2

，

3

2

]，x=1-t，
∴

1-x

x2-x+1

=

t

(1-t)2-(1-t)+1

=

t

t2-t+1

=

1

t+ 1 t -1

，
∵t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时取等号，
∴

1-x

x2-x+1

≤1，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，(

-x2-x+1

x2-x+1

)max=1，
∴m≥1…（16分）

点评：本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的性质及一元二次不等式的解法，突出分类讨论思想与构造函数思想及比较大小方法的综合应用，属于难题．