Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：
f（x）=

-0.1x2+2.6x+43，0＜x≤10 59，10＜x≤16 -3x+107，16＜x≤30.

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？

Answer 1

分析：（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；
（2）令f（x）=55，分段求出x，两个时间之差就是持续的时间，最后和13分钟比较大小即可．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13
故f（x）递增，最大值为f（10）=59；当10＜x≤16时，f（x）=59；当30≥x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．
（2）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），
当16＜x≤30时，令f（x）=55，解得x=17

1

3

因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

点评：本题考查分段函数，考查分段函数图象和增减性，此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．