Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）开讲5分钟与开讲15分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

Answer 1

分析：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．第二小题比较5分钟和15分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=15要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．第三小题考查分段函数图象和增减性，令f（x）=55，第一段函数解得x=6，第二段函数解得x=

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，关键是从图象上知道6＜x＜

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时，f（x）＞55，然后求出两个时间之差即

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-6=

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，其实就是持续的时间，最后和10分钟比较大小即可．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
为开口向下的二次函数，对称轴为x=13
故f（x）的最大值为f（10）=59
当10＜x≤16时，f（x）=59
当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（5分）
（2）f（5）=53.5，f（15）=59
故开讲15分钟时学生的接受能力比开讲5分钟时要强一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=

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，
且当6≤x≤

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时f（x）≥55
因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为

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-6=

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＞10
老师能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．（12分）

点评：此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．