Question

17．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线1过定点P（1，1）．
（1）求圆心C到直线1距离最大时的直线1的方程；
（2）若1与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由定点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，结合圆的弦长、弦心距及半径的关系可得圆心C到直线1距离最大时的直线1的方程；
（2）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由K_AB•K_CM=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．

解答 解：（1）定点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，
圆心C到直线1距离最大时的直线1与CP垂直，
∵${k}_{CP}=\frac{1-1}{1-0}=0$，∴所求直线l的斜率不存在，
则直线方程为x=1；
（2）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}=-1$，化简可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$，
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题