Question

12．若抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+$\frac{3}{2}$对称，则x₁•x₂=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -3

Answer 1

分析 先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+$\frac{3}{2}$，与已知条件联立求出x₁•x₂的值．

解答 解：由条件得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点连线的斜率k=-1，
而y₂-y₁=2（x₂²-x₁²）  ①，得x₂+x₁=-$\frac{1}{2}$ ②，且（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2}$）在直线y=x+$\frac{3}{2}$上，
即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$+$\frac{3}{2}$，即y₂+y₁=x₂+x₁+3  ③
又因为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，
所以有2（x₂²+x₁²）=x₂+x₁+3，即2[（x₂+x₁）²-2x₂x₁]=x₂+x₁+3  ④，
把①②代入④整理解得x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$
故选：C．

点评 本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查．当两点关于已知直线对称时，有两条结论，一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直．