Question

已知函数f （x）=2sinωx•cos（ωx+

π

6

）+

1

2

（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）求正实数ω的值；
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，求f （B）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的两角和展开，二倍角公式化简，求出函数为一个角的一个三角函数的表达式，利用周期公式求正实数ω的值；
（2）化简sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，利用三角形是锐角三角形，求出B的值，然后求f （B）的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinωx（cosωx•cos

π

6

-sinωx•sin

π

6

）+

1

2

=

3

sinωxcosωx-sin²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1-cos2ωx）+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）．
又f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=4π，则ω=

1

4

．
（2）由sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1得到sin²2B+sin2BsinB-2sin²B=0
所以（sin2B+2sinB）（sin2B-sinB）=0
∴sin2B+2sinB=0或sin2B-sinB=0
∵△ABC为锐角三角形
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

由（1）f（x）=sin（

x

2

+

π

6

），从而f（B）=sin（

π

3

×

1

2

+

π

6

）=sin

π

3

=

3

2

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期，注意三角形条件的应用，考查计算能力．