Question

17．在数列{a_n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N^*满足a_n+T=a_n，则称{a_n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=a（a≤1），x_n+2=|x_n+1-x_n|，若数列{x_n}的周期为3，则{x_n}的前100项的和为67．

Answer 1

分析 由已知条件推导出x₃=1-a，x₄=|1-2a|，且x₄=x₁，从而得a=0或a=1．由此能求出{x_n}的前100项的和．

解答 解：由x_n+2=|x_n+1-x_n|，得x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，x₄=|x₃-x₂|=|1-2a|，
∵数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=x₁，即|1-2a|=1，解得a=0或a=1．
当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S₁₀₀=2×33+1=67．
当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S₁₀₀=2×33+1=67．
综上：{x_n}的前100项的和为67．
故答案为：67．

点评 本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．