Question

如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AB₁与BF交于D，且∠BDB₁=90°，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3 -1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5 -1 2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：确定直线AB₁的斜率、直线BF的斜率，可得斜率的积为-1，由此可求椭圆的离心率．

解答：解：设左顶点A（-a，0），左焦点F（-c，0），上顶点B₁（0，b），下顶点B（0，-b）
则直线AB₁的斜率为

b

a

，直线BF的斜率为-

b

c

因为∠BDB₁=90°，直线AB₁与直线BF交于D，所以AB₁⊥BF
所以

b

a

•(-

b

c

)=-1
所以b²=ac
又因为a²=b²+c²，所以a²=ac+c²，
所以e²+e-1=0
所以e=

-1± 5

2

因为0＜e＜1，所以e=

5 -1

2

故选B．

点评：本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．