Question

3．在极坐标系中，曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ，ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1
（1）求曲线C₁和C₂的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线C₂相交于点Q，在OQ上取一点P，使|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁和C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，即可求出公共点的个数；
（2）设P（ρ，θ），Q（ρ₁，θ），则ρρ₁=2，可得ρ₁=$\frac{2}{ρ}$，利用C₂的极坐标方程，可得结论．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=-2cosθ可得ρ²=-2ρcosθ，
即可得到x²+y²=-2x，即（x+1）²+y²=1；
ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
可化为$\frac{1}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=1，
即x-$\sqrt{3}$y-2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$＞1，
∴曲线C₁和C₂的公共点的个数为0；
（2）设P（ρ，θ），Q（ρ₁，θ），则ρρ₁=2，
∴ρ₁=$\frac{2}{ρ}$，
∵ρ₁cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴$\frac{2}{ρ}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=ρ，
∴cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=ρ，
∴x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1，轨迹是以（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，1为半径的圆．

点评 本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，考查了极坐标与直角坐标的互化公式，属于中档题．