Question

13．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[$\frac{m}{2}$+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a是范围，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）先求出a的值，从而求出函数g（x）的表达式，求出g（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．

解答 解：（Ι）由f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$知：
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；
当a=0时，函数是常数函数f（x）=-3，无单调区间．
（Ⅱ）由f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1?a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=2-$\frac{2}{x}$，
故g（x）=x³+（2+$\frac{m}{2}$）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数g（x）在区间（t，3）上总存在极值，
∴函数g（x）在区间（t，3）上总存在零点，
又∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=-2＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（t）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，
由g′（t）＜0?m＜$\frac{2}{t}$-3t-4，
令H（t）=$\frac{2}{t}$-3t-4，则H′（t）=-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3＜0，
所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）_min=H（2）=-9；
由g′（3）=27+3（4+m）-2＞0，解得：m＞-$\frac{37}{3}$；
综上得：-$\frac{37}{3}$＜m＜-9，
所以当m在（-$\frac{37}{3}$，-9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，
函数g（x）在区间（t，3）上总存在极值．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，本题是一道难题．