Question

【题目】设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（ ）
A.（2014，+∞）
B.（0，2014）
C.（0，2020）
D.（2020，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1）， 所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0，
所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数，
因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1，
所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3），
所以x﹣2017＞3，解得x＞2020．
则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）．
故选：D．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则和利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．