【题目】已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)过点(3,0),且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=9x+m﹣1,若函数y=f(x)﹣g(x)在区间[﹣2,1]上有两个零点,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+2bx+c,由已知条件得:
,解得b=﹣3,c=d=0;
∴f(x)=x3﹣3x2
(2)解:由已知条件得:f(x)﹣g(x)=0在[﹣2,1]上有两个不同的解;
即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2,1]有两个不同的解;
即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2,1]上有两个不同解.
令h(x)=x3﹣3x2﹣9x+1,h′(x)=3x2﹣6x﹣9,x∈[﹣2,1];
解3x2﹣6x﹣9>0得:﹣2≤x<﹣1;解3x2﹣6x﹣9<0得:﹣1<x≤1;
∴h(x)max=h(﹣1)=6,又f(﹣2)=﹣1,f(1)=﹣10,∴h(x)min=﹣10;
m=h(x)在区间[﹣2,1]上有两个不同的解,∴﹣1≤m<6.
∴实数m的取值范围是[﹣1,6)
【解析】(1)根据已知条件即可建立关于b,c,d的三个方程,解方程即可求出b,c,d,从而求出f(x)的解析式.(2)由已知条件可得到方程f(x)﹣g(x)=0在区间[﹣2,1]上有两个不同的解,带入f(x),g(x)后得到:方程x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2,1]上有两个不同解.因为求m的取值范围,所以把方程变成:m=x3﹣3x2﹣9x+1,求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2,1]上的取值范围,要使方程有两个不同的解,从而求出m应满足的范围.这样便求出了m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】在一次耐力和体能测试之后,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的耐力成绩()和体能成绩(
)进行回归分析,求得回归直线方程为
.由于某种原因,成绩表(如下表所示)中缺失了乙的耐力和体能成绩.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
耐力成绩(X) | 7.5 | m | 8 | 8.5 |
体能成绩(Y) | 8 | n | 8.5 | 9.5 |
综合素质 ( | 15.5 | 16 | 16.5 | 18 |
(Ⅰ)请设法还原乙的耐力成绩和体能成绩
;
(Ⅱ)在区域性校际学生身体综合素质比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于16分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数
的分布列与数学期望.
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【题目】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x﹣1,f2(x)=x3 , f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最前面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分)
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【题目】曲线是平面内与两个定点
,
的距离之积等于
的点的轨迹.给出下列命题:
①曲线过坐标原点;
②曲线关于坐标轴对称;
③若点在曲线
上,则
的周长有最小值
;
④若点在曲线
上,则
面积有最大值
.
其中正确命题的个数为
A. B.
C.
D.
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【题目】如图表示某人的体重与年龄的关系,则( )
A.体重随年龄的增长而增加
B.25岁之后体重不变
C.体重增加最快的是15岁至25岁
D.体重增加最快的是15岁之前
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【题目】已知函数 .
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为1,求实数a的取值范围;(其中e为自然对数的底数);
(3)若 上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,已知椭圆C1: +y2=1,双曲线C2:
=1(a>0,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( )
A.
B.5
C.
D.
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【题目】现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的.
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率;
(2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率.
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