Question

【题目】已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：

，解得b=﹣3，c=d=0；

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）解：由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；

即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；

即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．

令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；

解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；

∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；

m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．

∴实数m的取值范围是[﹣1，6）

【解析】（1）根据已知条件即可建立关于b，c，d的三个方程，解方程即可求出b，c，d，从而求出f（x）的解析式．（2）由已知条件可得到方程f（x）﹣g（x）=0在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，带入f（x），g（x）后得到：方程x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]上有两个不同解．因为求m的取值范围，所以把方程变成：m=x3﹣3x2﹣9x+1，求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出m应满足的范围．这样便求出了m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．