Question

【题目】曲线是平面内与两个定点， 的距离之积等于的点的轨迹．给出下列命题：

①曲线过坐标原点；

②曲线关于坐标轴对称；

③若点在曲线上，则的周长有最小值；

④若点在曲线上，则面积有最大值．

其中正确命题的个数为

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】设曲线C上任意一点的坐标为P（x，y），则[（x+2）2+y2][（x-2）2+y2]=81，
①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲线C不经过原点，故①错误；
②把（-x，y）代入上式得[（-x+2）2+y2][（-x-2）2+y2]=[（x-2）2+y2][（x+2）2+y2]=81，
∴曲线C关于y轴对称，
把（x，-y）代入上式显然也成立，故曲线C关于x轴对称，故②正确；
③∵|PF1|+|PF2|≥2=6
∴△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|≥6+4=10，故③正确；
④△F1PF2面积S=，∴S2=4y2，
∵[（x+2）2+y2][（x-2）2+y2]=81，∴y4+（2x2+8）y2+（x2-4）2-81=0，
∴y2=--x2-4或y2=---x2-4（舍）．
设=t则x2=

∴y2=t--4=-

∴当t=12时，y2取得最大值，即S的最大值为, 故④错误．

故选C．