Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【解析】解：构造函数g（x）= ，g′（x）= ， 因为当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，即g′（x）= ＜0恒成立，
所以在（0，+∞）内g（x）单调递减．
因为f（2）=0，所以f（x）在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集等价为不等式f（x）＞0的解集．
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
所以答案是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．