Question

10．已知定点A（1，1）、动点P在圆x²+y²=1上，点P关于直线y=x的对称点为P′，向量$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{OP′}$，O是坐标原点，则|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 用坐标表示出|$\overrightarrow{PQ}$|，利用直线与圆的位置关系，即可求出|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围．

解答 解：设P（x，y），则P′（y，x），∵$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{OP′}$，∴Q（y+1，x+1），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（y-x+1，x-y+1），
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2（x-y）^{2}+2}$，
设t=x-y，则∵x²+y²=1，∴$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$≤1，∴|t|$≤\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2（x-y）^{2}+2}$∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．
故答案为[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．