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如图为函数M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为
( )

A.
B.
C.
D.
【答案】分析:对函数求导可得,f′(x)=,根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y-=(x-t),进而可得面积S=-t+,令g(t)为一个新的函数,要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g(t)在(0,1)上与y=b有两个交点,通过g′(t)研究函数函数g(t)在(0,1)上的单调性,结合函数的图象进行求解;
解答:解:解:对函数求导可得,f′(x)=,由题意可得M(t,),
切线的斜率k=f′(t)=
过点M的切线方程为y-=(x-t)
则可得P(0,),N(0,1),Q(2-t,1),
s△PNQ=PN•NQ=(2-t)(1-)=-t+
令g(t)=-t+(0<t<1)
g′(t)=+-1==
函数g(t)在(0,)单调递增,在[,1)单调递减,
由于g(1)=,g()=
△PNQ的面积为b时的点M恰好有两个,
即g(t)在(0,1)上与y=b有两个交点,
根据函数的图象可得,<b<

故选D;
点评:本题主要考查了导数的几何意义的应用:求切线方程;利用导数判断函数的单调性,求解函数的最值,解决本题的关键是构造函数g(t),通过研究该函数的性质,给出相应的函数的图象,本题是一道中档题;
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精英家教网如图为函数f(x)=
x
(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为
 

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如图为函数数学公式M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为


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C.
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