Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=1，a_n=

an-1+an-2

2

，求

lim

n→∞

a_n．

Answer 1

分析：利用已知条件，求出{2a_n+a_n-1}是常数列，然后求出a_n的通项公式，然后求出

lim

n→∞

a_n

解答：解：由a_n=

an-1+an-2

2

，得
2a_n+a_n-1=2a_n-1+a_n-2，∴{2a_n+a_n-1}是常数列．
∵2a₂+a₁=2，∴2a_n+a_n-1=2．
∴a_n-

2

3

=-

1

2

（a_n-1-

2

3

）．
∴{a_n-

2

3

}是公比为-

1

2

，首项为-

2

3

的等比数列．
∴a_n-

2

3

=-

2

3

×（-

1

2

）^n-1．
∴a_n=

2

3

-

2

3

×（-

1

2

）^n-1．
∴

lim

n→∞

a_n=

lim

n→∞

[

2

3

-

2

3

×（-

1

2

）^n-1]=

2

3

．

点评：本题是基础题，考查数列的极限，本题求出数列的通项公式是本题的关键，考查计算能力．