Question

设集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}，．
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A⊆?_RB，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵==（-∞，-）∪（2，+∞）．
当a=3时，A={x|x²-4x+3＜0}={x|（x-3）（x-1）＜0 }={x|1＜x＜3}=（1，3），
∴A∩B=（2，3）．
（2）因B==（-∞，-）∪（2，+∞），
∴?_RB=．
再由集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}={x|（x-1）（x-a）＜0}，
当a＞1时，A=（1，a+1），且 A⊆?_RB，可得 ，解得1＜a≤2．
当a=1时，A=∅，显然满足  A⊆?_RB．
当a＜1时，A=（a，1），且 A⊆?_RB，可得 ，解得 1＞a≥．
综上可得2≥a≥，
∴a的取值范围为．
分析：（1）解分式不等式求出集合B，解一元二次不等式求出集合A，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．
（2）先根据补集的定义求出?_RB=，再根据A⊆?_RB，分a＞1、a=1、a＜1三种情况，分别由 A⊆?_RB 求出a的取值范围，再取并集即得所求．
点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．