Question

（满分12分）

 对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点.

 

已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b－1（a≠0）.

（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）x=3或x=－1.（2）0<a<1

【解析】解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x²－x－3=xx²－2x－3=0

（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，

∴f（x）的不动点为x=3或x=－1.

（2）对于任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点

      对任意实数b，ax²+（b+1）x+b－1=x恒有两个不等实根

即ax²+bx+b－1=0恒有两个不等实根

      对任意实数b，Δ=b²－4a（b－1）>0恒成立

      对任意实数b，b²－4ab+4a>0恒成立

      Δ′=16a²－16a<0

      a（a－1）<00<a<1.