Question

（2010•中山一模）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量

OA

、

OB

、

OC

满足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

表示出向量

OA

，再由A，B，C三点共线可得到关系式

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）由x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，可知a＞lnx，由（1）得f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0，所以要证原不等式成立，只须证：a＞lnx+ln

3

2+3x

，构造函数，利用函数在x∈[

1

6

，

1

3

]上均单调递增，则求出函数的最大值即可证得．
（3）将函数f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令 ?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，根据导数判断其单调性并求出其单调区间，即可求得函数φ（x）的最小值，再根据在[0，1]上恰有两个不同的实根结合函数的性质求出答案．

解答：解：（1）由题意，

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C三点共线，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1
∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）∵x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，则a＞lnx
又由（1）得，f/(x)=

3

2+3x

+3x，x∈[

1

6

，

1

3

]，则f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0
∴要证原不等式成立，只须证：a＞lnx+ln

3

2+3x

（*）
设h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

．
∵h/(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0
∴h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上均单调递增，则h（x）有最大值h(

1

3

)=ln

1

3

，
又因为a＞ln

1

3

，所以a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]恒成立．
∴不等式（*）成立，即原不等式成立．
（3）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?/(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

当x∈(0，

1

3

)时，?′（x）＜0，?（x）单调递减，
当x∈(

1

3

，1)时，?′（x）＞0，?（x）单调递增，
∴?（x）有极小值为?(

1

3

)=ln3-

1

2

即在[0，1]上的最小值．
又?（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0
∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln3-

1

2

＜b≤ln2．

点评：本题以向量为依托，考查向量在几何中的应用以及利用导函数研究原函数的单调性，解题的关键是利用 A、B、C共线时，

OA

=λ

OB

+（1-λ）

OC

，建立等式，同时证明不等式时利用了分离参数法，也是我们应该掌握的方法．