Question

如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,

AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:

(1)PA⊥BD;

(2)平面PAD⊥平面PAB.

Answer 1

证明略

解析:

 (1)取BC的中点O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.

   

不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.

∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).

∴=(-2,-1,0), =(1,-2,- ).

∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,

∴⊥,∴PA⊥BD.

(2)取PA的中点M,连接DM,则M（,-1,）.

∵=（,0, ）, =(1,0,-),

∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,

∴⊥,即DM⊥PA.

又·=×1+0×0+×（-）=0，

∴⊥，即DM⊥PB.

又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，

∵DM平面PAD.

∴平面PAD⊥平面PAB.