Question

16．设△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于D，求证：A、B、C、D四点共圆．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，证明△BED≌△CFD，然后证明∠EBD+∠ACD=180°，推出A，B，C，D四点共圆．

解答 证明：过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F
因为AD是平分线
所以DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又BD=CD（垂直平分线的性质）
∠BED=∠CFD
所以△BED≌△CFD
所以∠EBD=∠FCD
又∠FCD+∠ACD=180°，
所以∠EBD+∠ACD=180°．
所以A，B，C，D四点共圆（共边，在两侧所对的两角互补，则两三角形共圆）．

点评 本题考查三角形全等，推理与证明，考查逻辑推理能力．