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已知函数f(x)axx2xlna(a>0a1)

(1)a>1求证:函数f(x)(0∞)上单调递增;

(2)若函数y|f(x)t|1有三个零点t的值;

(3)若存在x1x2[11]使得|f(x1)f(x2)|≥e1试求a的取值范围.

 

1)见解析(2t23[e∞)

【解析】审题引导:本题考查函数与导数的综合性质函数模型并不复杂(1)(2)两问是很常规的考查利用导数证明单调性考查函数与方程的零点问题.第(3)问要将若存在x1x2[11]使得|f(x1)f(x2)|≥e1”转化成|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1成立最后仍然是求值域问题但在求值域过程中问题设计比较巧妙因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负.

规范解答:(1)证明:f(x)axlna2xlna2x(ax1)·lna.(2)

由于a>1故当x∈(0∞)lna>0ax1>0所以f(x)>0.

故函数f(x)(0∞)上单调递增.(4)

(2)【解析】
a>0a1因为f(0)0f(x)R上单调递增f(x)0有唯一解x0.(6)所以xf(x)f(x)的变化情况如下表所示:

x

(0)

0

(0∞)

f(x)

0

f(x)

?

极小值

?

又函数y|f(x)t|1有三个零点所以方程f(x)t±1有三个根t1>t1所以t1f(x)minf(0)1解得t2.(10)

(3)【解析】
因为存在
x1x2[11]使得|f(x1)f(x2)|≥e1所以当x∈[11]|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1.(12)

(2)f(x)[10]上递减[01]上递增所以当x[11]f(x)minf(0)1f(x)maxmax{f(1)f(1)}

f(1)f(1)(a1lna)a2lna

g(t)t2lnt(t>0)因为g(t)10(当且仅当t1时取等号)

所以g(t)t2lntt∈(0∞)上单调递增,而g(1)0

所以当t>1g(t)>0;当0<t<1g(t)<0

也就是当a>1f(1)>f(1);当0<a<1f(1)<f(1)(14)

a>1f(1)f(0)≥e1?alnae1?ae

0<a<1f(1)f(0)≥e1?lnae1?0a≤

综上知所求a的取值范围为[e∞)(16)

 

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