Question

5．已知函数g（x）=2alnx+x²-2x．
（Ⅰ）当$a＞\frac{1}{4}$时，讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，在函数g（x）图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为P（x₀，y₀），试探究函数g（x）在Q（x₀，g（x₀））点处的切线与直线AB的位置关系？
（Ⅲ）试判断当a≠0时g（x）图象是否存在不同的两点A、B具有（Ⅱ）问中所得出的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明函数Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等即可；
（Ⅲ）若g（x）满足（2）中结论，有$g'（{x_0}）=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，设$\frac{x_1}{x_2}=t$，则*式整理得$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解，从而得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（I）由题知$g'（x）=\frac{2a}{x}+2x-2=\frac{{2（{{x^2}-x+a}）}}{x}$，
因为$a＞\frac{1}{4}$时，△＜0，g'（x）＞0，函数g（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；…..（4分）
（II）g（x）=x²-2x，$g'（x）=2x-2{\left.{\;}\right|_{x={x_0}}}=2{x_0}-2$，${k_{AB}}=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（{x_1}+{x_2}-2）（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=2{x_0}-2$，
所以函数Q点处的切线与直线AB平行；         …．（7分）
（III）设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（0＜x₁＜x₂），
若g（x）满足（ II）中结论，有$g'（{x_0}）=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
即$\frac{2a}{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}+{x_1}+{x_2}-2=\frac{{2aln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+{x_1}+{x_2}-2$，
即$ln\frac{x_1}{x_2}=\frac{{2（{{x_1}-{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$*…．（9分）
设$\frac{x_1}{x_2}=t$，则*式整理得$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解；…（11分）
设函数$h（t）=lnt-\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，则$h'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（{t-1}）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
所以函数h（t）在（0，1）单调递增，即h（t）＜h（1）=0，
即方程$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$在（0，1）上无解，
即函数g（x）不满足（2）中结论．…..（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查了转化思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．