Question

14．解关于x方程sin（4x+$\frac{π}{3}$）-4sin（2x-$\frac{5π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2=0．

Answer 1

分析 利用诱导公式和倍角公式，可将原方程变为：[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2][2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]=0，由cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2≥1≠0，可得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=0，解得答案．

解答 解：sin（2x-$\frac{5π}{6}$）=sin[（2x+$\frac{π}{6}$）-π]=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
sin（4x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）cos（2x+$\frac{π}{6}$），
故原方程可化为：2sin（2x+$\frac{π}{6}$）cos（2x+$\frac{π}{6}$）+4sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2=0
[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2][2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]=0，
∵cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2≥1≠0，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=0，
即sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z，
解得：x=-$\frac{π}{6}$+kπ，或x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是三角方程的解法，解答的关键是将原方程利用因式分解的方法，难度中档．