Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，
(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF；
(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED， 故∠CED为异面直线CE与AF所成的角， 因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD， 在Rt△CDE中，CD=1，， 故， 所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为。 (Ⅱ)证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G， 则∠BCA=∠CDA=45°， 由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB， 又CD⊥FA，FA∩AB=A， 所以CD⊥平面ABF。 (Ⅲ)由(Ⅱ)及已知，可得AG=，即G为AD的中点， 取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF， 因为BC∥AD，所以BC∥EF， 过点N作NM⊥EF，交BC于M， 则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角， 连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM， 从而BC⊥GM，由已知，可得， 由NG∥FA，FA⊥GM，得NC⊥CM， 在Rt△NGM中，， 所以二面角B-EF-A的正切值为。