Question

已知离心率为的椭圆C₁的顶点，A₁、A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁、A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂。
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁·k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k₁=时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线的左右焦点为（±2，0），
即的坐标分别为（-2，0），（2，0），
所以，设椭圆的标准方程为，则a=2，
且，所以，从而，
所以，椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）设，则，即，
，
所以，的值与点P的位置无关，恒为。 
（Ⅲ）由圆：得，
其圆心为，半径为|m|，
由（Ⅱ）知当时，，故直线的方程为，即，
所以，圆心为到直线的距离为，
又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得，
圆心到直线的距离，
所以，，
即，解得m=-2或m=1，
所以，实数m的值为1或-2。