Question

设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x₁，y₁）∈V，b=（x₂，y₂）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：
①f₁：V→R，f₁（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
②f₂：V→R，f₂（m）=x²+y，m=（x，y）∈V；
③f₃：V→R，f₃（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为

 

．（写出所有具有性质P的映射的序号）

Answer 1

分析：求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f[λ

a

+(1-λ)

b

]与λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)的值，判断哪个函数具有f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)．

解答：解：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，则λ

a

+(1-λ)

b

=(λx1+(1-λ)x2，  λy1+（1-λ）y₂}
对于①，f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）满足性质P
对于②f₂（λa+（1-λb））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（a）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λa+（1-λb））≠λf₂（a）+（1-λ）f₂（b），∴映射f₂不具备性质P．
对于③f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
满足性质p
故答案为：①③

点评：本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．