Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁D₁C；
（2）过E构造一条线段与平面B₁D₁C垂直，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱的结构特征

专题：证明题,探究型,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明B₁D₁⊥平面AA₁C₁，即可证B₁D₁⊥AC₁，同理可证AC₁⊥B₁C，从而证明AC₁⊥B₁D₁C．
（2）连结EO，此线段与平面B₁D₁C垂直，由E是AA₁的中点，O是A₁C₁的中点，得EO∥AC₁，由AC₁⊥平面B₁D₁C，可证EO⊥平面B₁D₁C．

解答： 证明：（1）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．
∵A₁C₁⊥B₁D₁，且AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，∴B₁D₁⊥AC₁．
同理，AC₁⊥B₁C，∴AC₁⊥B₁D₁C．
（2）连结EO，此线段与平面B₁D₁C垂直．
∵E是AA₁的中点，O是A₁C₁的中点，∴EO∥AC₁．
∵AC₁⊥平面B₁D₁C，∴EO⊥平面B₁D₁C．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，连结EO，探究此线段与平面B₁D₁C垂直是解题的关键，属于中档题．