Question

已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上．
（Ⅰ） 求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为C（a，a），再由圆C经过A（0，3）、B（3，2）两点，可得|CA|²=|CB|²，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．
（Ⅱ）通过圆心距、半径、半弦长满足的勾股定理，即可求实数m的值．

解答：解：（Ⅰ）由于圆心在直线y=x上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，a）． 再由圆C经过A（0，3）、B（3，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-0）²+（a-3）²=（a-3）²+（a-2）²．
解得 a=1，故圆心C（1，1），半径r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
故圆C的方程为 （x-1）²+（y-1）²=5，
（Ⅱ）圆心C（1，1），半径r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
圆心到直线y=2x+m的距离为：

|2-1+m|

5

=

|1+m|

5

直线被圆C所截得的弦长为4，所以半弦长为：2；
所以（

5

）²=2²+（

|1+m|

5

）²，
所以实数m的值为-1±

5

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．