Question

如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的相似，可得函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）表示出面积，利用配方法，可得矩形BNPM面积的最大值．

解答：解：（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4…（2分）
在△EDF中，

EQ

PQ

=

EF

FD

，所以

x-4

8-y

=

4

2

…（4分）
所以y=-

1

2

x+10，定义域为{x|4≤x≤8}…（6分）
（II）设矩形BNPM的面积为S，则S(x)=xy=x(10-

x

2

)=-

1

2

(x-10)2+50…（9分）
所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10
所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增                               …（11分）
所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米         …（13分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查配方法求函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．