Question

设集合A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²≤144}，问：是否存在实数a，b使得A∩B≠∅和（a，b）∈C同时成立．

Answer 1

分析：由集合A和B交集不为空集，可联立两集合中的两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，此方程有解，得到根据的判别式大于等于0，列出关于a与b的不等式，记作①，又（a，b）属于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到关于a与b的不等式，记作②，由不等式的性质得到（b-6）²≤0，进而得到b=6，把b的值代入①和②可求出a的值，进而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同时成立时a与b的值．

解答：解：由

y=ax+b y=3x2+15

，
消去y得：3x²-ax-b+15=0，
若A∩B≠φ，则由△≥0得：a²≥12（15-b），①
若（a，b）∈C，则a²+b²≤144，
∴a²≤144-b²，②
由144-b²≥12（15-b），即（b-6）²≤0，
∴b=6，
代入①，②得108≤a²≤108，
∴a²=108，∴a=±6

3

，
∴当a=±6

3

且b=6时，A∩B≠φ 和（a，b）∈C同时成立．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，元素与集合的关系，以及交集、空集的意义，解题时注意运用完全平方式为非负数，以及不等式的基本性质来解决问题．