Question

已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，则

1+a

1-a

∈A（a≠0，且a≠±1），则集合A中至少有几个元素？证明你的结论．

Answer 1

分析：由已知中若a∈A，则

1+a

1-a

∈A（a≠0，且a≠±1），依次代入可得a、

1+a

1-a

、-

1

a

和

a-1

a+1

均属于A，且互不相等，进而得到结论．

解答：解：∵a∈A，则

1+a

1-a

∈A，
∴

1+ 1+a 1-a

1- 1+a 1-a

=-

1

a

∈A，
进而有

1+(- 1 a )

1-(- 1 a )

=

a-1

a+1

∈A，
∴又有

1+ a-1 a+1

1- a-1 a+1

=a∈A，
∵a∈R，∴a≠-

1

a

，
假设a=

1+a

1-a

，则a²=-1，矛盾，
∴a≠

1+a

1-a

，
类似方法可证a、

1+a

1-a

、-

1

a

和

a-1

a+1

四个数互不相等，
这就证得集合A中至少有四个元素．

点评：本题考查的知识点集合元素的个数的最大值，其中根据递推式得到集合中的其它元素且证明其互不相等，是解答的核心．