Question

函数f（x）=

1

3

x3-

nx2

2

+x(x∈R，n∈N*)．
（1）函数f（x）是否存在极值点？若存在，分别求出其极大值点与极小值点，不存在说明理由；
（2）若x_n+1=f′(xn)，且xn≥n+2，求证：

1

1+x1

+

1

1+x2

+…+

1

1+xn

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，进而研究导数为0方程的根的情况，当△≤0时，不存在极值点；当△＞0时存在极值点；
（2）先表示出x_n+1，进而可得不等关系，由此可确定0＜

1

1+xn

≤(

1

2

)n+1，从而得证．

解答：解：（1）f′（x）=x²-nx+1
△=n²-4，n∈N*
①当n=1，2时，不存在极值点
②当n≥3，n∈N*时，存在极值点，又f′(x)=0的根为

n± n2-4

2

极大值点为x=

n- n2-4

2

，极小值点为x=

n+ n2-4

2

（2）xn+1=

x

2 n

-nxn+1=(xn-

n

2

)2+1-

n2

4

xn≥n+2＞

n

2

＞0⇒x_n+1≥（n+2）x_n-nx_n+1⇒x_n+1≥2x_n+1⇒x_n+1+1≥2（x_n+1）＞0⇒0＜

1

xn+1+1

≤

1

2(xn+1)

，又0＜

1

x1+1

≤

1

4

⇒0＜

1

1+xn

≤(

1

2

)n+1⇒

1

1+x1

+

1

1+x2

+…+

1

1+xn

≤

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的运用，有一定的综合性．