Question

已知数列{a_n}中，a₁=a(a＞2)，对一切n∈N^*，a_n＞0，a_n+1=.

（1）求证：a_n＞2且a_n+1＜a_n;

（2）证明a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).

Answer 1

证明:（1）证法一：a_n+1=＞0，?

∴a_n＞1.?∴a_n-2=-2=≥0.?

∴a_n≥2，若存在a_k=2,则a_k-1=2,?

由此可推出a_k-2=2,…,a₁=2,此与a₁=a＞2矛盾，故a_n＞2.

∵a_n+1-a_n=＜0，

∴a_n+1＜a_n.?

证法二：（用数学归纳法证明a_n＞2）,①当n=1时，因a₁=a＞2,故命题a_n＞2成立；②假设n=k时命题成立，即a_k＞2,那么,a_k+1-2=，所以a_k+1＞2，即n=k+1时命题也成立.

综上所述，命题a_n＞2对一切正整数成立.a_n+1＜a_n的证明同上.?

（2）由题（1）得a_n-2=,

∴a_n-2＜＜…＜(n≥2).?

∴(a₁-2)+(a₂-2)+…+(a_n-2)≤(a-2)(1+++…+)=(a-2)=2(a-2)(1-)＜2(a-2).?

∴a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).

温馨提示

用数学归纳法证明不等式,关键是在证明?n=k+1?时命题成立.从n=k+1的待证不等式的一端“拼凑”出归纳假设不等式的一端，再运用归纳假设即可.