Question

7．已知f（t）=log₂t，t∈[2，16]，对于函数f（t）值域内的任意实数m，则使x²+mx+4＞4m+4x恒成立的实数x的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-2$\sqrt{3}$]
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-∞，-2$\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 依题意，可得m∈[1，4]，x²+mx+4＞4m+4x恒成立?（x-4）m+x²-4x+4＞0恒成立，构造函数g（m）=（x-4）m+x²-4x+4，则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（4）＞0}\end{array}\right.$，解之即可得到实数x的取值范围．

解答 解：∵t∈[2，16]，
∴f（t）=log₂t∈[1，4]，即m∈[1，4]时，x²+mx+4＞4m+4x恒成立，即m∈[1，4]，（x-4）m+x²-4x+4＞0恒成立，
令g（m）=（x-4）m+x²-4x+4，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{{x}^{2}-12＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞2$\sqrt{3}$或x＜-2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，分离参数m并构造函数g（m）=（x-4）m+x²-4x+4是关键，考查等价转化思想与函数方程思想，属于难题．