Question

19．设向量$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$是夹角为60°的两个单位向量，向量$\overrightarrow{OP}$=x•$\overrightarrow{OM}$+y•$\overrightarrow{ON}$，（x、y为实数）．若△PMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则x-y的值为1．

Answer 1

分析 先根据条件可求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}$，而由MP⊥MN即可得到$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}=0$，而可求得$\overrightarrow{MP}=（x-1）\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}=0$并进行数量积的运算即可得到$1-x+\frac{1}{2}（x-y-1）+y=0$，从而便可求出x-y的值．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1•1•cos60°=\frac{1}{2}$，且MP⊥MN；
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$=$（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}）•（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}）$
=$[（x-1）\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}]•（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}）$
=$（1-x）{\overrightarrow{OM}}^{2}+（x-y-1）\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$$+y{\overrightarrow{ON}}^{2}$
=$1-x+\frac{1}{2}（x-y-1）+y$
=0；
∴x-y=1．
故答案为：1．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量的数乘运算．