Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．函数f（x）=sin（2x+A）．
（1）若$A=\frac{π}{2}$，则$f（-\frac{π}{6}）$的值为$\frac{1}{2}$；
（2）若$f（\frac{π}{12}）=1$，a=3，$cosB=\frac{4}{5}$，求△ABC的边b的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得计算得解．
（2）由$f（\frac{π}{12}）=1$，可得$2×\frac{π}{12}+A=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，结合范围0＜A＜π，可求A，
由$cosB=\frac{4}{5}$，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用正弦定理可求b的值．

解答 解：（1）若$A=\frac{π}{2}$，则$f（-\frac{π}{6}）$=sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$．…（2分）
故答案为：$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）=sin（2x+A）且$f（\frac{π}{12}）=1$，
则$2×\frac{π}{12}+A=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
注意到0＜A＜π，所以$k=0，A=\frac{π}{3}$．…（3分）
因为$cosB=\frac{4}{5}$，0＜B＜π，所以$sinB=\frac{3}{5}$．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}⇒\frac{b}{{\frac{3}{5}}}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}⇒b=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．…（5分）

点评 本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．