Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=a_n+n²-1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）S_n=a_n+n²-1（n∈N^*），可得a₁+a₂=a₂+2²-1，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（2）由（1）可得：S_n=n²+2n．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=a_n+n²-1（n∈N^*），∴a₁+a₂=a₂+2²-1，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n+n²-1-[a_n-1+（n-1）²-1]，化为：a_n-1=2n-1，可得a_n=2n+1，n=1时也成立．
∴a_n=2n+1．
（2）证明：由（1）可得：S_n=2n+1+n²-1=n²+2n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与就计算能力，属于中档题．