Question

设数列a_n的前n项的和为S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n+1-1
（1）求数列a_n的通项公式；
（3）求证：数列是等比数列；
（3）设数列b_n是等比数列且b₁=2，a₁，a₃，b₂成等比数列，T_m为b_n的前m项的和，，试比较T_m与P_m的大小，并加以证明．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1）
即（n+1）a_n+1=（n+2）a_n即（2分）
而当n=1时，2S₁=2a₂-1，
∴，（3分）
∴
而当n=1时，a₁=1符合上式，综上（4分）
（2）证明：由（1），
∴
∴（6分）
∴
∴
∴当n≥2时
∴是以2为首项为公比的等比数列..（8分）
（3）由（1）a₃=2
∵a₁，a₃，b₂成等比数列∴a₁b₂=a₃²
∴b₂=4
∴（9分）
而由（2）
∴．（10分）
∴P_m-T_m=m•2^m-1-1-（2^m+1-2）=（m-4）•2^m-1+1
当1≤m≤3且n∈N^*时，P_m＜T_m
当m≥4且n∈N^*时，P_m＞T_m（12分）
分析：（1）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1），即，而当n=1时，2S₁=2a₂-1，，当n=1时，a₁=1符合上式，故．
（2）由，知，，，，由此能够证明是以2为首项为公比的等比数列．
（3）由a₃=2，a₁，a₃，b₂成等比数列，知b₂=4，，由此入手能够得到当1≤m≤3且n∈N^*时，P_m＜T_m，当m≥4且n∈N^*时，P_m＞T_m．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、等比数列的证明和数列前m项和的比较，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．