Question

9．设抛物线E：y²=2px（p＞0）上的点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）如图，直线l：y=k（x+2）与抛物线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点是C，求证：直线BC恒过一定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的性质得出x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，得出M的坐标，代入抛物线方程求出p即可；
（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立，求出直线BC方程，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：∵|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，∴x₀=2p．即M（2p，4）．
把M（2p，4）代入抛物线方程得4p²=16，解得p=2．
∴抛物线Γ的方程为y²=4x．
（Ⅱ）证明：由题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁） （x₁≠x₂）．
由直线代入抛物线方程，消y整理得ky²-4y+8k=0，
则y₁y₂=8．
直线BC：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-x₁），
所以y=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-x₁$\frac{{y}_{2}{y}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$）-，
所以y=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-2）．
∴直线BC恒过定点（2，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．