Question

19．已知O，F分别为双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设M（m，n），则G（$\frac{an}{b}$，n），利用FG⊥OG，求出n，可得m，利用|OM|=|OF|，求出E的离心率．

解答 解：设M（m，n），则G（$\frac{an}{b}$，n），
∵FG⊥OG，∴$\frac{n}{\frac{an}{b}-c}•\frac{b}{a}=-1$，∴n=$\frac{ab}{c}$，
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，∴m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
∵|OM|=|OF|，∴$\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=c²，
∴2a²=c²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定M的坐标是关键．