Question

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数，可得，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．
（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．
分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．