Question

11．某公司欲制作容积为16米³，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米1000元，侧面造价是每平方米500元，记该容器底面一边的长为x米，容器的总造价为y元．
（1）试用x表示y；
（2）求y的最小值及此时该容器的底面边长．

Answer 1

分析 （1）设长方体容器的长为xm，宽为zm；从而可得xz=16，从而写出该容器的造价为y=1000xz+500（x+x+z+z）；
（2）利用基本不等式，可得x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$，即可得到所求的最值和对应的x的值．

解答 解：（1）由容器底面一边的长为x米，设宽为zm，
则x•z•1=16，即xz=16，即z=$\frac{16}{x}$，
则该容器的造价y=1000xz+500（x+x+z+z）
=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+$\frac{16}{x}$），x＞0；
（2）由16000+1000（x+$\frac{16}{x}$）
≥16000+1000×2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$
=16000+8000=24000．
（当且仅当x=z=4时，等号成立）
故该容器的最低总价是24000元，
此时该容器的底面边长为4m．

点评 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，考查数学建模思想的运用，属于中档题．