Question

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积等于

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数量积和三角函数的性质可得sin(A-

π

6

)=

1

2

，由A的范围可得A的值；（Ⅱ）由余弦定理和面积可得b、c的方程组，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=1，∴(-1，

3

)•(cosA，sinA)=1，
所以

3

sinA-cosA=1…（2分）
进而可得2(sinA•

3

2

-cosA•

1

2

)=1，sin(A-

π

6

)=

1

2

…..（4分）
∵0＜A＜π，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

…．（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得，b²+c²-bc=4…..（8分）
又因为△ABC的面积等于

3

，所以

1

2

bcsinA=

3

，得bc=4．（10分）
联立方程组

b2+c2-bc=4 bc=4

，解得b=2，c=2．（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的化简和余弦定理，属中档题．