Question

已知不重合的两个点P（1，cosx），Q（cosx，1），O为坐标原点．
（1）求夹角的余弦值f（x）的解析式及其值域；
（2）求△OPQ的面积S（x），并求出其取最大值时，的值．

Answer 1

解：（1）cosθ=，
∵P，Q不重合，∴，…（2分）
∵cosx＞0，，因此f（x）=，…（4分）
由函数的单调性，得．…（6分）
（2）S（x）===…（8分）
∴S（x）=，，…（10分）
当，S（x）取最大值，=2=．…（12分）
分析：（1）由已知中点P（1，cosx），Q（cosx，1）的坐标，进而根据cosθ=，我们可以求出余弦值f（x）的解析式，结合及对勾函数的单调性，易得到函数f（x）的值域；
（2）由（1）中结论，代入△OPQ的面积公式，我们易确定出函数S（x）的表达式，进而根据及求出面积S（x）的最大值，及对应的x值，代入即可求出的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的坐标表示，平面向量数量积的运算，其中（1）的关键是确定出f（x）的解析式，（2）的关键是函数S（x）的表达式．