Question

【题目】已知 f（x）= sin2x﹣2sin2x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[﹣ ， ]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 f（x）= sin2x﹣2sin2x= sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+ ）﹣1，

所以，函数的周期为T= =π，即函数f（x）的最小正周期为 π．

令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈z，

所以f（x）的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]

（2）解：因为﹣ ≤x≤ ，得﹣ ≤2x+ ≤ ，∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1．

∴﹣2≤2sin（2x+ ）﹣1≤1，

所以，函数f（x）的最大值为1．

此时，2x+ = ，即 x=

【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ ）﹣1，由此求得函数的周期，令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．（2）根据﹣ ≤x≤ ，求得2x+ 的范围，可得sin（2x+ ）﹣1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．