Question

【题目】已知t为实数，函数，其中

（1）若，求的取值范围。

（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围；

（3）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）t＞1（3）a=

【解析】

（1）根据对数函数的图像与性质化简即可求解；

（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），根据对数函数的图象和性质可得，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；

（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，即可得到n-m的最小值.

解：（1）由题意得函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，

，解得，则x的取值范围是；

（2）由题意设h（x）=f（x）-g（x）=2loga（2x+t-2）-logax＜0在x∈[1，4]恒成立，

∴2loga（2x+t-2）＜logax，

∵0＜a＜1，x∈[1，4]，

∴只需要2x+t-2＞恒成立，

即恒成立，

∴,

令,

∴,

∴t的取值范围是t＞1，

（3）∵t=4，0＜a＜1，

∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（-1，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增，

∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（-）=0，

∴(等号不同时取到),

令|2loga(2x+2)|=2,得,

又,

∴,

∴n-m的最小值为,

∴a=.