Question

【题目】定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．

（1）求出此函数的解析式；

（2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由;

（3）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，见解析；（3）最小值为

【解析】

（1）利用最大值和最小值可确定，又，可求得；根据，结合的范围可求得，从而得到解析式；（2）首先保证原式有意义可得到；根据二次函数性质可确定，；由函数在上递增可确定，解不等式求得结果；（3）根据三角函数伸缩和平移变化得到和；由复合函数单调性可确定当取最大值时，需与同时取得，从而求得，根据确定最小值.

（1），

，

，

解得：，，又

（2）满足，解得：

同理

由（1）知函数在上递增

若有

只需要：，即成立即可

存在，使成立

（3）由题意知：，

函数与函数均为单调增函数，且，

当且仅当与同时取得才有函数的最大值为

由得：，

则 ，

又 的最小值为