Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设bn=an•2-n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求使T_n＞2的n的取值范围．
（3）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），由此可得结论，并可求通项公式；
（2）利用错位相减法，求得数列{b_n}的前n项和，代入不等式，利用函数的单调性，即可求n的取值范围；
（3）要使c_n+1＞c_n恒成立，即cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ2n+2-(-1)n-1λ2n+1＞0恒成立，分离参数，分类讨论，即可求得结论．

解答：（1）证明：由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），…（2分）
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．…（4分）
（2）解：∵a_n=n+1，∴bn=(n+1)•

1

2n

∴Tn=2× 1 2 +3× 1 22 +…+n• 1 2n-1 +(n+1)• 1 2n …(1)

∴

1 2 Tn=2× 1 22 +3× 1 23 +…+n• 1 2n +(n+1)• 1 2n+1 …(2)

(1)-(2)：

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-(n+1)•

1

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

…（6分）
代入不等式得：3-

n+3

2n

＞2，∴

n+3

2n

-1＜0
设f(n)=

n+3

2n

-1，∴f(n+1)-f(n)=-

n+2

2n+1

＜0
∴f（n）在N₊上单调递减，…（8分）
∵f(1)=1＞0，f(2)=

1

4

＞0，f(3)=-

1

4

＜0，
∴当n=1，n=2时，f（n）＞0，当n≥3时，f（n）＜0，
所以n的取值范围为n≥3，且n∈N^*…（10分）
（3）解：∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，即cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ2n+2-(-1)n-1λ2n+1＞0恒成立，
∴3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，…（12分）
（i）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．…（15分）
综上所述：存在λ=-1，使得对任意的n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．